拓扑、测度与积分PDF电子书下载

第一章 预备知识 1

1.1 什么是现代数学 1

1.2 数学语言 9

1.3 集合及其运算 10

1.4 序关系 15

1.5 选择公理及其等价命题 18

1.6 基数 20

1.7 序数 25

第二章 拓扑 33

2.1 引言 33

2.2 拓扑及其例子 34

2.3 聚点、内点、边界点 39

2.4 映射的连续性 43

2.5 初始拓扑与最终拓扑 45

2.6 分离性公理和可数性公理 47

2.7 紧致性 52

2.8 距离空间中的紧致性 56

2.9 紧开拓扑 58

2.10 网收敛与滤子收敛 63

第三章 测度 71

3.1 引言 71

3.2 集代数：环与σ环 74

3.2.1 定义 74

3.2.2 Borel σ代数 78

3.2.3 算子Rσ（·）的性质 80

3.3 集函数 83

3.4 测度空间及其构造方法 91

3.5 测度扩张 101

3.5.1 Carathéodory测度扩张定理 101

3.5.2 σ有限测度的扩张 105

3.6 局部紧空间上的测度 108

3.6.1 局部紧空间 108

3.6.2 测度构造 112

3.7 测度的例子 119

3.7.1 Lebesgue测度 119

3.7.2 Lebesgue-Stieltjes测度 125

3.7.3 局部紧群上的Haar测度 126

3.7.4 Hausdorff测度 135

3.7.5 Brown运动 139

第四章 积分 141

4.1 可测函数 141

4.1.1 定义及基本性质 141

4.1.2 可测函数列的收敛性 147

4.2 测度空间上的积分 151

4.2.1 积分的构造 151

4.2.2 积分的性质 157

4.2.3 应用：Riesz表示定理 165

4.3 Lp空间中的强收敛 170

4.3.1 不等式 170

4.3.2 强收敛与其他收敛性之间的关系 175

4.3.3 Lp的稠密子空间与算子内插 181

4.3.4 附录：Lp空间的基本性质 184

4.4 Fubini定理及其推广 186

4.4.1 乘积测度的构造与Fubini定理 186

4.4.2 推广 192

4.5 应用 196

4.5.1 积分算子 196

4.5.2 Haar积分与卷积运算 199

4.5.3 调和分析 207

第五章 广义测度的分解 215

5.1 引言 215

5.2 离散-连续分解 216

5.3 Hahn分解和Jordan分解 217

5.4 局部紧空间上的广义测度 222

5.5 Lebesgue分解和Radon-Nikodym定理 225

5.6 Lebesgue微分定理 232

附录：提示与解答 241

习题部分 241

问题部分 254

索引 261