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第1篇 引论 1

第1章 极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 变量 1

1.1.2 函数 2

1.1.3 函数的几何表示（函数的图形） 4

1.1.4 函数的运算 5

1.1.5 反函数 5

1.1.6 特殊的函数类 8

1.1.7 初等函数 10

习题1.1 12

1.2 数列的极限 14

习题1.2 20

1.3 数列极限的运算法则 21

习题1.3 24

1.4 数列极限存在的准则，几个重要极限 24

习题1.4 28

1.5 数项级数 28

习题1.5 34

1.6 非负级数与变号级数 34

1.6.1 非负级数 34

1.6.2 变号级数 41

习题1.6 47

1.7 函数的极限 49

1.7.1 六种连续变化的基本极限过程 49

1.7.2 函数极限的定义 50

1.7.3 极限的性质 54

1.7.4 极限的运算法则 54

1.7.5 函数极限的存在准则，几个重要极限 55

习题1.7 59

1.8 无穷小量与无穷大量 60

1.8.1 无穷小量 60

1.8.2 无穷大量 61

习题1.8 62

1.9 无穷小量与无穷大量的阶 62

习题1.9 67

数学实验1 数列的极限 68

数学实验2 函数的极限 69

第2章 连续函数 71

2.1 连续与间断 71

习题2.1 74

2.2 闭区间上连续函数的性质 75

习题2.2 76

2.3 连续函数的运算，初等函数的连续性 76

习题2.3 79

2.4 一致连续性 80

习题2.4 81

数学实验3 连续函数 82

第2篇 一元函数的微积分 84

第3章 导数与微分 84

3.1 导数概念 84

3.1.1 非匀速运动物体的瞬时速度 84

3.1.2 非均匀棒的局部密度 85

3.1.3 导数的定义 86

3.1.4 求导数举例 87

3.1.5 导数的几何意义 88

3.1.6 导数存在问题，可导与连续的关系 90

习题3.1 92

3.2 求导法则 94

习题3.2 101

3.3 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 102

3.3.1 隐函数及其求导 102

3.3.2 由参数方程确定的函数的求导 104

习题3.3 107

3.4 微分 109

习题3.4 113

3.5 高阶导数与高阶微分 114

习题3.5 119

第4章 微分学基本定理 121

4.1 微分中值定理 121

习题4.1 126

4.2 Taylor公式 127

习题4.2 134

4.3 L'Hospital法则 135

习题4.3 139

4.4 幂级数及函数的幂级数展开式 139

4.4.1 幂级数 140

4.4.2 函数的幂级数展开式及其应用 148

习题4.4 157

第5章 微分学对函数研究的应用 160

5.1 函数单调性的判别 160

习题5.1 163

5.2 函数的极值 164

5.2.1 局部极值与整体极值 164

5.2.2 局部极值点的必要条件与充分条件 164

5.2.3 关于整体极值 168

习题5.2 170

5.3 函数的凹、凸与扭转 170

习题5.3 174

5.4 函数作图 175

5.4.1 垂直渐近线 176

5.4.2 水平渐近线 176

5.4.3 斜渐近线 176

习题5.4 180

5.5 曲率与曲率圆 181

5.5.1 弧微分公式 181

5.5.2 平面曲线的曲率 182

5.5.3 密切圆 184

习题5.5 186

5.6 非线性方程的近似解 186

5.6.1 弦位法 187

5.6.2 Newton法 190

5.6.3 综合法 191

习题5.6 192

5.7 微分学应用举例 193

5.7.1 光的反射与折射定律 193

5.7.2 极坐标方程表示的曲线的作图 197

5.7.3 森林砍伐的最佳时机 201

数学实验4 线性函数的迭代 205

数学实验5 求解方程的迭代方法 206

第6章 Riemann积分 210

6.1 Riemann积分的概念 210

6.2 积分存在的条件 216

习题6.2 221

6.3 积分的性质 221

习题6.3 225

6.4 Newton-Leibnitz公式（微积分基本定理） 226

习题6.4 233

6.5 Riemann积分的等价定义 235

第7章 Riemann积分的计算 237

7.1 原函数与不定积分的简单计算 237

7.1.1 基本积分表 237

7.1.2 简单的积分法则 238

习题7.1 239

7.2 换元公式 240

习题7.2 249

7.3 分部积分公式 252

习题7.3 259

7.4 特殊函数类的不定积分 261

7.4.1 有理函数的积分 261

7.4.2 三角函数有理式的积分 263

7.4.3 简单无理函数的积分 266

习题7.4 267

7.5 不能用初等函数表示的积分 269

习题7.5 274

7.6 定积分的近似计算 274

7.6.1 矩形公式 275

7.6.2 梯形公式 275

7.6.3 Simpson公式 276

习题7.6 277

7.7 广义积分 278

7.7.1 广义积分的收敛与发散 278

7.7.2 广义积分的收敛判别法 281

7.7.3 再论非负级数的敛散 285

习题7.7 291

7.8 Newton二项式展开在收敛圆端点的敛散性 293

数学实验6 调和级数与Euler常数γ 295

数学实验7 数值积分 299

第8章 积分应用（一）——经典问题的统一处理 303

8.1 几何应用 304

8.1.1 平面图形的面积 304

8.1.2 曲线的弧长 308

习题8.1（1） 311

8.1.3 立体的体积 312

8.1.4 旋转体的侧面积 316

习题8.1（2） 318

8.2 力学、物理中的应用 319

8.2.1 重心坐标 319

8.2.2 功的计算 320

8.2.3 流体压力 322

8.2.4 函数的平均值 323

8.2.5 其它应用 324

习题8.2 327

第9章 积分应用（二）——常微分方程初等解法 329

9.1 例子与基本概念 329

9.1.1 现实生活中的常微分方程 329

9.1.2 一些基本概念 335

习题9.1 338

9.2 一阶常微分方程的初等解法 339

9.2.1 变量分离的方程 340

9.2.2 齐次方程 343

习题9.2（1） 346

9.2.3 一阶线性方程 347

习题9.2（2） 351

9.3 求解高阶常微分方程的降阶法 352

习题9.3 356

附录1 通用数学符号 358

附录2 希腊字母表 358

附录3 George Polya的“怎样解题”表 359

附录4 科学家人名对照 360