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第1章 预备知识 1

1.1 微积分引言 1

1.1.1 微积分的内容 1

1.1.2 微积分的思想 2

1.1.3 微积分的历史和微积分的理论 3

习题1-1 4

1.2 函数及其性质 4

1.2.1 集合 4

1.2.2 逻辑及其符号 5

1.2.3 函数的概念 7

1.2.4 函数的一些重要属性 9

1.2.5 函数的运算 11

1.2.6 初等函数 13

1.2.7 映射 16

1.2.8 实数的上确界和下确界 16

习题1-2 19

1.3 极坐标 21

1.3.1 极坐标系 21

1.3.2 极坐标与直角坐标的互化 22

1.3.3 曲线的极坐标方程 23

习题1-3 23

复习题1 24

第2章 极限与连续 25

2.1 数列的极限 25

2.1.1 数列极限的直观含义 25

2.1.2 极限的严格定义 26

2.1.3 收敛数列的性质 28

2.1.4 数列的子列及其极限 29

习题2-1 30

2.2 函数的极限 31

2.2.1 自变量趋于有限值时函数的极限 31

2.2.2 自变量趋于无穷大时函数的极限 34

2.2.3 函数极限的性质 35

习题2-2 36

2.3 无穷小与无穷大 36

2.3.1 无穷小 36

2.3.2 无穷大 37

习题2-3 40

2.4 极限的运算法则 41

习题2-4 44

2.5 连续函数及其运算 45

2.5.1 连续函数 45

2.5.2 连续函数的运算 46

习题2-5 48

2.6 极限存在准则与两个重要极限 49

2.6.1 夹逼准则与？ 49

2.6.2 单调有界准则与？ 50

2.6.3 Cauchy收敛准则 53

2.6.4 连续复利问题 53

习题2-6 54

2.7 无穷小的比较 55

习题2-7 57

2.8 函数的间断点及其类型 58

2.8.1 间断点的定义 58

2.8.2 连续与间断的几何意义 58

2.8.3 间断点的类型 59

习题2-8 60

2.9 闭区间上连续函数的性质 61

2.9.1 最值定理 61

2.9.2 介值定理 62

2.9.3 一致连续性 63

习题2-9 64

2.10 实数理论及相关定理的证明 65

2.10.1 实数理论 65

2.10.2 与实数理论相关的定理 65

习题2-10 69

复习题2 69

第3章 导数与微分 71

3.1 导数概念 71

3.1.1 速度和切线问题 71

3.1.2 导数的概念 73

3.1.3 求导举例 75

3.1.4 函数可导性与连续性的关系 78

习题3-1 79

3.2 微分概念 80

3.2.1 微分的定义 81

3.2.2 微分的几何意义 83

3.2.3 “微积分思想”中微分的含义 84

3.2.4 弧微分 85

习题3-2 86

3.3 导数与微分的运算法则 86

3.3.1 四则运算 86

3.3.2 反函数的运算法则 89

3.3.3 复合函数的运算法则 90

3.3.4 运算法则与运算公式 94

习题3-3 96

3.4 高阶导数与高阶微分 97

3.4.1 高阶导数 98

3.4.2 高阶微分 101

习题3-4 103

3.5 隐函数及参数方程所确定函数的导数 103

3.5.1 隐函数的导数 103

3.5.2 参数方程所确定的函数的导数 107

习题3-5 110

3.6 相关变化率及微分的应用 111

3.6.1 相关变化率 111

3.6.2 微分的应用 114

习题3-6 116

复习题3 117

第4章 微分中值定理与导数的应用 119

4.1 微分中值定理 119

4.1.1 Fermat引理 119

4.1.2 Rolle中值定理 120

4.1.3 Lagrange中值定理 121

4.1.4 Cauchy中值定理 122

习题4-1 124

4.2 L'Hospital法则 125

4.2.1 ？型未定式 125

4.2.2 ？型未定式 127

4.2.3 其他类型的未定式 129

习题4-2 132

4.3 Taylor公式 133

习题4-3 140

4.4 函数的单调性与极值 141

4.4.1 函数的单调性 141

4.4.2 函数的极值 143

习题4-4 146

4.5 最大值最小值问题 146

习题4-5 149

4.6 曲线的凹凸性与拐点及渐近线 150

4.6.1 曲线的凹凸性与拐点 150

4.6.2 曲线的渐近线 153

习题4-6 155

4.7 函数图形的描绘 157

习题4-7 159

4.8 曲线的曲率 159

4.8.1 曲率 159

4.8.2 曲率圆与曲率半径 161

4.8.3 渐屈线和渐伸线 163

习题4-8 164

4.9 方程的近似解 164

4.9.1 二分法 164

4.9.2 切线法(牛顿法) 165

习题4-9 167

4.10 导数在经济中的应用 167

4.10.1 经济中的常用函数 167

4.10.2 边际分析 168

4.10.3 弹性分析 170

4.10.4 最优批量 173

习题4-10 174

复习题4 175

第5章 不定积分 178

5.1 不定积分的概念与性质 178

5.1.1 原函数与不定积分的概念 178

5.1.2 基本积分表 180

5.1.3 不定积分的性质 181

习题5-1 184

5.2 不定积分的换元积分法与分部积分法 184

5.2.1 换元积分法 185

5.2.2 分部积分法 194

习题5-2 198

5.3 某些特殊类型函数的不定积分 199

5.3.1 有理函数的积分 200

5.3.2 三角有理函数的积分 203

5.3.3 简单无理函数的积分 204

习题5-3 206

5.4 微分方程简介 207

5.4.1 微分方程的基本概念 207

5.4.2 可分离变量的微分方程 208

习题5-4 209

复习题5 209

第6章 定积分及其应用 211

6.1 定积分的概念 211

6.1.1 问题的提出 211

6.1.2 定积分定义 213

6.1.3 常见的不可积函数与可积函数 215

习题6-1 216

6.2 可积的充要条件与可积函数类 217

6.2.1 Darboux上和与Darboux下和 217

6.2.2 可积的充要条件 218

6.2.3 可积函数类 220

习题6-2 221

6.3 定积分的性质 221

习题6-3 225

6.4 微积分基本定理 226

6.4.1 积分上限函数及其导数 226

6.4.2 Newton-Leibniz公式 228

习题6-4 232

6.5 定积分的换元积分法和分部积分法 233

6.5.1 定积分的换元积分法 233

6.5.2 定积分的分部积分法 237

习题6-5 240

6.6 反常积分 241

6.6.1 无穷区间上的反常积分 241

6.6.2 无界函数的反常积分 243

习题6-6 246

6.7 反常积分的审敛法Г函数 246

6.7.1 无穷限反常积分的审敛法 246

6.7.2 无界函数反常积分的审敛法 250

6.7.3 Г函数 251

习题6-7 253

6.8 定积分的微元法和元素法 254

6.8.1 微元法与元素法的根据 254

6.8.2 微元法与元素法的解题步骤 255

6.9 定积分在几何上的应用 258

6.9.1 平面图形的面积 258

6.9.2 体积 261

6.9.3 平面曲线的弧长 264

习题6-9 267

6.10 定积分在物理中的应用 269

6.10.1 变力沿直线所做的功 269

6.10.2 液体的静压力 271

6.10.3 引力 272

习题6-10 272

6.11 定积分在其他方面的应用 273

6.11 已知边际函数求总函数 273

6.11.2 人口统计 275

6.11.3 产量预测 275

习题6-11 276

复习题6 276

附录A 实数理论的逻辑结构 280

A1 群、环、域的概念 280

A2 有序集和界的概念 281

A3 实数存在定理 282

A4 有理数Q与自然数N的逻辑基础 285

附录B 定积分的历史和发展 287

习题答案与提示 289

第1章 289

第2章 290

第3章 294

第4章 298

第5章 302

第6章 307