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第一章 函数与极限 1

1 函数 1

1.1 函数的概念 1

1.2 具有某些特性的函数 7

习题1-1 9

2 数列极限 12

2.1 数列极限的概念 12

2.2 收敛数列的性质 15

2.3 数列极限存在的准则 17

习题1-2 20

3.1 函数极限的概念 21

3 函数极限 21

3.2 函数极限的性质 24

3.3 函数极限存在的准则及两个重要极限 26

3.4 无穷小量、无穷大量、阶的比较 31

习题1-3 35

4 函数的连续性 36

4.1 函数连续的概念 36

4.2 连续函数的性质 39

4.3 初等函数在其定义域上的连续性 40

习题1-4 42

复习题一 43

1.1 导数的概念 46

第二章 导数与微分 46

1 导数 46

1.2 求导法则和基本求导公式 51

1.3 隐函数的导数 56

1.4 高阶导数 58

1.5 导数概念在实际中的应用 60

习题2-1 61

2 微分 63

2.1 微分的概念 63

2.2 微分的计算 65

复习题二 68

习题2-2 68

第三章 微分中值定理及导数的应用 71

1 微分中值定理 71

1.1 费马(Fermat)定理、最大(小)值 71

1.2 罗尔(Rolle)定理 74

1.3 拉格朗日(Lagrange)定理、函数的单调区间与极值 75

1.4 柯西(Cauchy)定理 81

习题3-1 82

2 未定式的极限 83

2.1 ？型未定式的极限 83

2.2 ？型未定式的极限 86

2.3 其他类型未定式的极限 87

习题3-2 89

3 泰勒(Taylor)定理与应用 90

3.1 泰勒(Taylor)定理 90

3.2 几个常用函数的麦克劳林(Maclaurin)公式 91

3.3 带有佩亚诺(Peano)余项的泰勒公式 93

3.4 泰勒公式的应用 94

习题3-3 95

4 数学建模初步 96

习题3-4 100

5 函数图形的凹凸性与拐点 100

6.1 曲线的渐近线 103

习题3-5 103

6 函数图形的描绘 103

6.2 函数图形的描绘 105

习题3-6 107

7 导数在经济中的应用 107

7.1 经济中常用的一些函数 107

7.2 边际分析 110

7.3 弹性分析 112

习题3-7 116

复习题三 118

1.1 原函数与不定积分 121

1 不定积分的概念 121

第四章 不定积分 121

1.2 不定积分的性质 122

1.3 基本积分 123

习题4-1 125

2 求不定积分的几种基本方法 125

2.1 凑微分法(第一类换元法) 125

2.2 变量代换法(第二类换元法) 128

2.3 分部积分法 132

习题4-2 135

3 某些特殊类型函数的不定积分 137

3.1 有理函数的不定积分 137

3.2 三角函数有理式的不定积分 141

习题4-3 143

复习题四 143

第五章 定积分及其应用 145

1 定积分的概念与性质 145

1.1 引例 145

1.2 定积分的定义 147

1.3 定积分的几何意义 148

1.4 定积分的基本性质 149

习题5-1 152

2 定积分基本定理 152

2.1 原函数存在定理 152

2.2 牛顿-莱布尼茨公式 154

习题5-2 155

3 定积分的计算 156

3.1 定积分的换元积分法 156

3.2 定积分的分部积分法 158

习题5-3 159

4 定积分的应用 160

4.1 平面图形的面积 160

4.2 立体的体积 163

4.3 定积分的经济应用 166

习题5-4 169

5.1 无穷区间上的反常积分 170

5 反常积分 170

5.2 无界函数的反常积分 173

5.3 Γ函数 174

习题5-5 175

复习题五 175

第六章 微分方程与差分方程 179

1 微分方程的基本概念 179

习题6-1 181

2 一阶微分方程 181

2.1 可分离变量的一阶微分方程 181

2.2 一阶齐次微分方程 182

2.3 一阶线性微分方程 184

习题6-2 189

3 可降阶的二阶微分方程 190

3.1 y″=f(x)型 190

3.2 y″=f(x，y′)型 190

3.3 y″=f(y，y′)型 191

习题6-3 193

4 二阶常系数线性微分方程 193

4.1 二阶常系数齐次线性微分方程 194

4.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 197

习题6-4 203

5.1 差分的概念 204

5 差分及差分方程的基本概念 204

5.2 差分方程的基本概念 205

习题6-5 206

6 一阶常系数线性差分方程 207

6.1 齐次方程yt＋1－ayt＝0的解法 207

6.2 非齐次方程yt＋1－atyt＝f(t)的解法 208

习题6-6 210

复习题六 211

第七章 多元函数微分学 214

1 空间解析几何简介 214

1.1 空间直角坐标系 214

1.2 空间曲面及其方程 216

习题7-1 221

2 多元函数的极限与连续性 221

2.1 平面区域 221

2.2 多元函数的概念 222

2.3 二元函数的极限与连续 223

习题7-2 227

3 偏导数与全微分 228

3.1 偏导数 228

3.2 全微分 232

4 复合函数的微分法 236

习题7-3 236

习题7-4 241

5 隐函数的偏导数 242

习题7-5 244

6 多元函数的极值 245

习题7-6 249

复习题七 250

第八章 二重积分 252

1 二重积分的概念 252

习题8-1 255

2 利用直角坐标计算二重积分 255

习题8-2 262

3 利用极坐标计算二重积分 263

习题8-3 267

复习题八 268

第九章 级数 270

1 数项级数的基本概念与性质 270

1.1 数项级数的概念 270

1.2 收敛级数的性质 272

习题9-1 273

2 正项级数收敛性的判别法 273

习题9-2 279

3 一般项级数 280

3.1 交错级数 280

3.2 绝对收敛与条件收敛 281

习题9-3 282

4 幂级数 283

4.1 幂级数的收敛半径与收敛区间 283

4.2 幂级数的性质 286

习题9-4 288

5 函数展开成幂级数 288

5.1 泰勒公式与泰勒级数 289

5.2 几个基本初等函数的幂级数展开 290

习题9-5 294

复习题九 295

习题答案 297