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目录 1

第1章 函数与极限、连续函数 1

1.1 集合、数集、确界 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 数集、确界 4

习题1.1 7

1.2 映射与一元实函数 7

1.2.1 常量与变量 7

1.2.2 映射 8

1.2.3 一元实函数 9

1.2.4 几类具有某种特性的函数 12

习题1.2 15

1.3 函数的运算、初等函数 16

1.3.1 四则运算 16

1.3.2 函数的复合 17

1.3.3 反函数 19

1.3.4 初等函数 23

习题1.3 25

1.4 数列的极限 26

1.4.1 数列极限的定义 26

1.4.2 数列极限的四则运算 37

1.4.3 数列收敛的判别准则 39

习题1.4 48

1.5 函数的极限 49

1.5.1 函数极限的概念 49

1.5.2 函数极限与数列极限的关系 56

1.5.3 函数极限的有关定理 58

1.5.4 两个重要极限 63

1.5.5 无穷小量与无穷大量 68

习题1.5 75

1.6.1 函数连续性的概念（连续点、间断点） 77

1.6 连续函数 77

1.6.2 连续函数的局部性质及运算法则 83

1.6.3 闭区间上连续函数的性质 85

1.6.4 初等函数的连续性 91

习题1.6 97

第1章总练习题 98

第2章 导数与微分 102

2.1 导数的概念与求导法则 102

2.1.1 导数的概念、可导性与连续性的关系 102

2.1.2 求导法则 111

习题2.1 128

2.2.1 微分的概念 131

2.2 微分 131

2.2.2 微分的运算 136

2.2.3 一阶微分形式的不变性 138

2.2.4 微分的应用 139

习题2.2 143

2.3 高阶导数 144

习题2.3 151

第2章总练习题 152

第3章 中值定理与导数应用 156

3.1 微分学基本定理 156

3.1.1 费马（Férmat）定理 156

3.1.2 中值定理 158

习题3.1 166

3.2 未定式极限 168

3.2.1 “？”型未定式 168

3.2.2 “？”型未定式 173

3.2.3 其他类型的未定式 175

习题3.2 177

3.3 泰勒（Taylor）公式 178

3.3.1 泰勒多项式与泰勒公式 178

3.3.2 泰勒定理 180

习题3.3 190

3.4.1 函数的单调性 191

3.4 函数的单调性与极值 191

3.4.2 函数的极值 195

3.4.3 函数最大值、最小值的求法 199

习题3.4 202

3.5 函数图像的讨论 203

3.5.1 函数的凸性与拐点 204

3.5.2 曲线的渐近线 210

3.5.3 函数的图像 212

习题3.5 214

3.6 牛顿（Newton）法 215

第3章总练习题 219

习题3.6 219

第4章 不定积分 223

4.1 不定积分的概念、基本积分表 223

4.1.1 原函数与不定积分 223

4.1.2 基本积分表、不定积分的性质 225

习题4.1 228

4.2 换元积分法与分部积分法 228

4.2.1 换元积分法 228

4.2.2 分部积分法 235

习题4.2 238

4.3.1 有理函数的积分 241

4.3 有理函数和可化为有理函数的积分 241

4.3.2 三角函数有理式的积分 246

4.3.3 两类可有理化函数的积分 249

习题4.3 252

第4章总练习题 254

第5章 定积分及其应用 257

5.1 定积分的概念 257

5.2 可积条件 261

5.2.1 可积的必要条件 261

5.2.2 可积的必要充分条件 263

5.2.3 可积函数类 264

习题5.2 265

5.3 定积分的性质、积分中值定理 266

习题5.3 270

5.4 定积分的计算 271

5.4.1 微积分学基本定理 271

5.4.2 换元积分法与分部积分法 273

习题5.4 278

5.5 定积分的近似计算 280

习题5.5 284

5.6 定积分在几何上的应用 284

5.6.1 平面图形的面积 285

5.6.2 立体体积 288

5.6.3 曲线的弧长与曲率 290

5.6.4 旋转体的侧面积 296

习题5.6 297

5.7 定积分在物理上的应用 298

5.7.1 功 298

5.7.2 液体的压力 299

5.7.3 静矩与重心 299

5.7.4 转动惯量 302

5.7.5 平均值 303

习题5.7 304

第5章总练习题 305

第6章 广义积分 309

6.1 无穷区间上函数的广义积分 309

6.1.1 基本概念 309

6.1.2 基本性质 312

6.1.3 收敛性判别法 313

6.1.4 计算公式 321

6.1.5 柯西主值 325

习题6.1 326

6.2 无界函数的广义积分 327

6.2.1 基本概念 327

6.2.3 收敛性判别法 329

6.2.2 基本性质 329

习题6.2 333

第6章总练习题 334

第7章 无穷级数 337

7.1 数项级数 337

7.1.1 基本概念 337

7.1.2 收敛级数的性质 340

7.1.3 柯西收敛准则 343

7.1.4 正项级数的收敛判别法 345

7.1.5 任意项级数的收敛判别法 353

7.1.6 绝对收敛与条件收敛 359

习题7.1 367

7.2 函数项级数 370

7.2.1 函数项级数的一致收敛 370

7.2.2 一致收敛级数的分析性质 379

习题7.2 385

7.3 幂级数 386

7.3.1 幂级数的收敛半径 386

7.3.2 收敛半径的求法 389

7.3.3 幂级数的分析性质 392

习题7.3 397

7.4.1 泰勒级数的概念及性质 398

7.4 泰勒级数 398

7.4.2 初等函数的泰勒展开式 402

7.4.3 幂级数的某些应用 409

习题7.4 413

第7章总练习题 414

第8章 傅立叶级数 419

8.1 傅立叶级数 419

8.1.1 三角函数系的正交性 420

8.1.2 以T为周期的函数的傅立叶级数 422

8.1.3 傅立叶级数的收敛性 425

8.1.4 奇、偶函数的傅立叶级数 433

8.1.5 有限区间上的函数的傅立叶级数 435

8.1.6 将函数展为正弦级数与余弦级数 440

习题8.1 445

8.2 复数形式的傅立叶级数 447

8.2.1 复数形式的傅氏级数 447

8.2.2 频谱分析 451

习题8.2 455

第8章总练习题 456

附录 积分表 459

习题答案与提示 467