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绪论 1

第一章 函数 极限与连续 4

1.1 映射与函数 4

一、集合 区间与邻域 4

二、映射 7

三、函数的概念 9

四、函数的运算 反函数 13

五、具有某种特性的函数 16

六、基本初等函数 初等函数 19

七、建立函数关系式举例 26

思考题1.1 29

习题1.1 29

1.2 极限的概念 30

一、数列的极限 31

二、当自变量趋于无穷大时函数的极限 35

三、当自变量趋于有限值时函数的极限 38

四、单侧极限 42

五、数列极限与函数极限的关系 43

思考题1.2 45

习题1.2 45

1.3 无穷小量 无穷大量 46

一、无穷小量与无穷大量的概念 46

二、无穷小量与无穷大量的关系 47

三、无穷小的运算性质 48

四、函数及其极限与无穷小之间的关系 49

思考题1.3 50

习题1.3 50

1.4 极限的性质及运算法则 51

一、极限的性质 52

二、极限的运算法则 53

思考题1.4 57

习题1.4 58

1.5 极限存在准则 两个重要极限 59

一、夹逼准则x→0lim sin x/x=1 59

二、单调有界准则x→∞lim(1+1/x)x=e 63

三、无穷小的比较 68

思考题1.5 71

习题1.5 72

1.6 连续函数 73

一、连续性的概念 73

二、函数的间断点 76

三、连续函数的性质与运算 80

四、初等函数的连续性 81

五、闭区间上连续函数的性质 83

思考题1.6 87

习题1.6 88

1.7 应用实例 89

实例一 分形曲线 89

实例二 椅子平稳模型 92

复习题一 93

第二章 一元函数微分学 96

2.1 导数的概念 96

一、引例 96

二、导数的定义 98

三、单侧导数 100

四、导数的几何意义 102

五、函数可导与连续的关系 103

六、导数在实际问题中的应用 105

思考题2.1 107

习题2.1 107

2.2 导数的运算法则 108

一、导数的四则运算法则 109

二、反函数的求导法则 111

三、复合函数的求导法则 113

四、导数的基本公式 116

思考题2.2 118

习题2.2 118

2.3 隐函数及参数式函数的导数 119

一、隐函数的导数 119

二、参数式函数的导数 122

三、相关变化率问题 126

思考题2.3 128

习题2.3 128

2.4 高阶导数 129

思考题2.4 134

习题2.4 134

2.5 函数的微分 135

一、微分的概念 135

二、微分的运算法则 138

三、函数的线性近似 140

思考题2.5 142

习题2.5 142

2.6 微分中值定理 143

一、函数的极值及其必要条件 144

二、微分中值定理 145

思考题2.6 152

习题2.6 152

2.7 不定型的极限 154

一、0/0型与∞/∞型 154

二、其他不定型 157

思考题2.7 160

习题2.7 160

2.8 泰勒公式 161

一、泰勒公式 162

二、几个常用的麦克劳林公式 166

三、泰勒公式的应用 170

思考题2.8 172

习题2.8 173

2.9 函数的单调性与极值 174

一、函数单调性的判定法 174

二、函数极值的判定法 177

三、最大值与最小值问题 180

思考题2.9 185

习题2.9 185

2.10 函数的凸性与曲线的拐点 186

思考题2.10 192

习题2.10 192

2.11 函数作图 193

一、曲线的渐近线 193

二、函数作图 197

思考题2.11 199

习题2.11 199

2.12 曲线的曲率 199

一、弧微分 199

二、曲率 201

习题2.12 205

2.13 应用实例 206

实例一 运输问题 206

实例二 拐角问题 207

复习题二 209

第三章 一元函数积分学 213

3.1 定积分的概念与性质 213

一、引例 213

二、定积分的定义 215

三、函数可积的充分条件 217

四、定积分的几何意义 217

五、定积分的性质 219

思考题3.1 223

习题3.1 224

3.2 微积分基本定理 225

一、积分上限的函数 226

二、微积分基本定理 228

思考题3.2 229

习题3.2 230

3.3 不定积分的概念与性质 231

一、不定积分的概念 231

二、不定积分的几何意义 231

三、不定积分的性质 232

四、基本积分公式 233

思考题3.3 237

习题3.3 238

3.4 换元积分法 238

一、不定积分的换元积分法 238

二、定积分的换元积分法 251

思考题3.4 256

习题3.4 257

3.5 分部积分法 259

一、不定积分的分部积分法 259

二、定积分的分部积分法 264

思考题3.5 267

习题3.5 267

3.6 有理函数的积分 268

一、有理函数的积分 268

二、三角函数有理式的积分 276

思考题3.6 278

习题3.6 278

3.7 反常积分 279

一、无穷区间上的反常积分 279

二、无界函数的反常积分 282

三、Γ函数与B函数 285

思考题3.7 287

习题3.7 288

3.8 定积分的几何应用 289

一、微元法 289

二、求平面图形的面积 290

三、求体积 294

思考题3.8 297

习题3.8 297

3.9 定积分的物理应用 298

一、功 298

二、引力 300

三、液体的压力 303

四、函数的平均值与均方根 303

思考题3.9 305

习题3.9 305

3.10 应用实例 306

实例 钓鱼问题 306

复习题三 308

第四章 常微分方程 312

4.1 微分方程的基本概念 312

一、引例 312

二、基本概念 313

思考题4.1 315

习题4.1 316

4.2 一阶微分方程 316

一、可分离变量的方程 317

二、齐次方程 321

三、一阶线性方程 325

思考题4.2 332

习题4.2 332

4.3 可降阶的高阶微分方程 334

一、y(n)=f（x）型 334

二、y″=f（x,y′）型 335

三、y″=f（y,y′）型 337

思考题4.3 340

习题4.3 340

4.4 二阶齐次线性方程 341

一、二阶齐次线性方程解的性质与结构 341

二、二阶常系数齐次线性方程的解法 344

思考题4.4 350

习题4.4 350

4.5 二阶非齐次线性方程 351

一、二阶非齐次线性方程解的性质与结构 351

二、二阶常系数非齐次线性方程的解法 353

三、欧拉方程 364

思考题4.5 367

习题4.5 367

4.6 应用实例 369

实例一 鱼雷击舰问题 369

实例二 人口增长模型 371

复习题四 374

附录 常用曲线图 377

习题答案 380