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第1章 函数与极限 1

1.1函数的概念 1

一、集合、区间、邻域 1

二、函数 2

三、函数的几种特性 4

四、初等函数 5

五、函数在经济生活中的应用 7

练习题1—1 9

1.2数列的极限与函数的极限 10

一、数列的极限 10

二、函数的极限 14

三、无穷小量的性质 18

练习题1—2 19

1.3极限的四则运算 19

一、极限四则运算法则 19

二、复合函数极限运算法则 20

练习题1—3 23

1.4极限存在的两个准则和两个重要极限 24

一、夹逼准则 24

二、重要极限limx→0sinx/x=1 25

三、单调有界准则 27

四、重要极限limx→∞（1+1/x）x=e 27

练习题1—4 30

1.5无穷小量的比较 31

一、无穷小量阶的概念 31

二、用等价无穷小量求极限 31

练习题1—5 32

1.6连续函数 33

一、连续函数的概念 33

二、函数的间断点及其分类 35

三、初等函数的连续性 35

四、闭区间上连续函数的性质 36

练习题1—6 37

1.7数学实验基础——Matlab简介 38

一、Matlab的基本操作命令 39

二、M程序和M函数 40

总练习题一 42

第2章 导数与微分 44

2.1函数的导数 44

一、导数的背景实例 44

二、导数的定义 45

三、根据导数的定义求导数的实例 47

四、导数的几何意义 48

五、函数可导与函数连续的关系 49

练习题2—1 50

2.2导数的四则运算法则 51

练习题2—2 53

2.3反函数的求导法则 54

练习题2—3 55

2.4复合函数、隐函数和参数式函数的求导法则及对数求导法则 55

一、复合函数的求导法则 55

二、隐函数的概念及求导法则 56

三、参数式函数的求导法则 57

四、对数求导法则 58

五、基本初等函数的导数公式 59

练习题2—4 59

2.5函数的微分 61

一、微分的概念 61

二、基本微分公式和微分的运算法则 62

练习题2—5 63

2.6高阶导数 64

一、背景实例 64

二、高阶导数 64

三、隐函数与参数方程式函数的二阶导数 66

练习题2—6 66

2.7用Matlab软件求极限的数学实验 67

一、对数e的感性认识 67

二、极限的数学实验 68

总练习题二 70

第3章 微分中值定理与导数的应用 73

3.1微分中值定理 73

一、罗尔（Rolle）中值定理 73

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 74

三、柯西（Cauchy）中值定理 76

练习题3—1 77

3.2洛必达（L’Hospital）法则 78

一、0/0型的待定式（或未定式） 78

二、∞/∞型的待定式 79

三、其他的待定式 80

练习题3—2 81

3.3泰勒（Taylor）公式 82

一、多项式P（x）应满足的条件 82

二、近似多项式P（x）的具体形式 82

三、误差的估计 83

四、余项的表达式 85

练习题3—3 86

3.4函数的单调性和极值 87

一、函数的单调性 87

二、函数的极值 89

三、函数的最大值和最小值 91

四、导数与微分在经济领域中的应用 92

练习题3—4 93

3.5曲线的凹凸性、拐点与渐近线 94

一、曲线的凹凸性与拐点 94

二、曲线的渐近线 96

练习题3—5 98

3.6函数作图 98

练习题3—6 100

3.7曲率 100

一、弧长的微分 100

二、曲线的曲率及计算 101

三、曲率圆与曲率半径 102

练习题3—7 103

3.8导数与微分的数学实验 104

一、导数的数学实验 104

二、微分在近似计算中的应用 104

总练习题三 106

第4章 不定积分 108

4.1不定积分的概念与性质 108

一、原函数与不定积分 108

二、不定积分的运算性质 109

三、基本积分公式表 110

练习题4—1 112

4.2换元积分法 113

一、第一类换元法（凑微分法） 113

二、第二类换元法 119

练习题4—2 123

4.3分部积分法 124

练习题4—3 128

4.4三种特殊类型函数的积分 129

一、有理函数的积分 129

二、三角函数有理式的积分 130

三、简单无理函数的积分 131

练习题4—4 132

4.5一元函数微分学的数学模型举例 133

星级宾馆的定价问题 133

总练习题四 134

第5章 定积分 136

5.1定积分的概念与性质 136

一、定积分问题的实际背景 136

二、定积分的定义 137

练习题5—1 142

5.2微积分基本公式 143

一、积分上限函数及求导定理 143

二、微积分的基本公式（牛顿—莱布尼茨公式） 145

练习题5—2 146

5.3定积分计算的换元法和分部积分法 147

一、换元法 147

二、分部积分法 148

练习题5—3 149

5.4广义积分 150

一、无穷限广义积分 150

二、无界函数的广义积分 151

三、Γ函数和B函数 153

练习题5—4 154

5.5 Matlab在计算不定积分中的应用 155

一、应用Matlab计算不定积分的基本命令 155

二、应用实例 155

总练习题五 157

第6章 定积分的应用及近似计算 159

6.1微元法及定积分的几何应用 159

一、微元法 159

二、平面图形的面积 160

三、体积 162

四、平面曲线的弧长 164

五、旋转曲面的面积 165

六、定积分在经济学中的应用 167

练习题6—1 168

6.2定积分的物理应用 169

一、变力沿直线做功 169

二、液体对薄板的压力 171

三、引力 172

练习题6—2 172

6.3定积分的近似计算 173

一、矩形法 173

二、梯形法 173

三、抛物线法 174

练习题6—3 176

6.4 Matlab在计算定积分中的应用 176

一、应用Matlab计算定积分的基本命令 176

二、应用实例 176

总练习题六 179

第7章 微分方程 180

7.1微分方程的基本概念 180

练习题7—1 181

7.2一阶微分方程 182

一、可分离变量的微分方程 182

二、齐次方程 184

三、一阶线性微分方程 186

四、伯努利方程 188

练习题7—2 189

7.3可降价的高阶微分方程 190

一、y（n）=f（x）型 191

二、y"=f（x，y’）型 191

三、y"=f（y，y’）型 192

练习题7—3 193

7.4二阶常系数线性微分方程 194

一、二阶常系数齐次线性微分方程 194

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 197

练习题7—4 199

7.5 n阶线性常系数齐次微分方程 200

一、n阶线性常系数齐次微分方程 200

二、欧拉微分方程 202

7.6微分方程的应用 203

一、实际问题中遇到的线性常系数微分方程组 203

二、微分方程的应用举例 205

7.7 Matlab在解微分方程中的应用 207

一、应用Matlab解微分方程的基本命令 207

二、应用实例 208

总复习题七 210

附录 211

附录Ⅰ中学数学常用公式 211

附录Ⅱ常见的曲线图 215

附录Ⅲ常用积分表 219

参考答案或提示 227