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Chapter 1 一元函数微积分 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 函数定义 2

1.1.3 图形 2

1.1.4 基本性质 3

1.1.5 反函数 3

1.1.6 复合函数 4

1.1.7 初等函数 4

1.2 极限与连续 7

1.2.1 数列极限 7

1.2.2 函数极限 8

1.2.3 左极限、右极限以及趋近于∞的极限 9

1.2.4 极限的性质与四则运算 10

1.2.5 极限的存在性和两个重要极限 11

1.2.6 函数的连续性 13

1.2.7 无穷小量比较和一些极限例子 15

1.3 导数与微分 17

1.3.1 怎样求导数 18

1.3.2 导数的四则运算 19

1.3.3 复合函数求导 19

1.3.4 高阶导数 21

1.3.5 微分 22

1.4 中值定理与导数的应用 25

1.4.1 中值定理 25

1.4.2 罗必塔法则 26

1.4.3 泰勒公式 29

1.4.4 函数的单调性与极值 30

1.4.5 最大、最小值 32

1.4.6 曲线的凹凸性，拐点 32

1.5 不定积分 35

1.5.1 不定积分的定义和性质 35

1.5.2 不定积分的换元法 37

1.5.3 不定积分的分部积分 40

1.5.4 有理分式函数的积分 41

1.6 定积分 43

1.6.1 定积分的定义 44

1.6.2 定积分的基本定 47

1.6.3 定积分的计算 48

1.6.4 求面积 49

1.6.5 求旋转面围成的图形的体积 50

1.6.6 广义积分 50

Chapter 2 线性代数 51

2.1 行列式 51

2.1.1 n阶行列式的定义 51

2.1.2 行列式的性质 54

2.1.3 行列式的展开 58

2.1.4 Gramer法则 63

2.2 消元法（高斯消去法） 66

2.3 数组向量空间 70

2.3.1 向量的坐标表示法 70

2.3.2 线性相关与线性无关 71

2.3.3 极大线性无关组和向量的秩 74

2.4 矩阵 77

2.4.1 矩阵的加法、乘法与数乘 77

2.4.2 矩阵的转置与分块 78

2.4.3 拉普拉斯定理 82

2.4.4 特殊矩阵 83

2.4.5 矩阵的秩和初等变换 86

2.4.6 初等矩阵 91

2.4.7 可逆矩阵与逆矩阵 93

2.5 线性方程组的一般理论 96

2.5.1 齐次方程组的解 96

2.5.2 非齐次线性方程组 98

2.6 向量空间 100

2.6.1 几何向量空间 104

2.6.2 向量空间的内积 105

2.6.3 内积性质 105

2.6.4 正交组的求法 106

2.7 二次型 107

2.7.1 实对称矩阵相似并且合同于对角矩阵 108

2.7.2 合同 112

2.7.3 正定矩阵 114

2.7.4 二次型化简 115

Chapter 3 空间解析几何 117

3.1 几何向量空间中的向量积 117

3.2 混合积 118

3.3 直线和平面 119

3.4 柱面和旋转面 120

3.5 二次曲面 121

Chapter 4 多元函数微积分 124

4.1 多元函数的基本概念和极限 124

4.1.1 区域 124

4.1.2 多元函数的极限 125

4.1.3 多元函数的连续 126

4.2 偏导数 127

4.2.1 高阶偏导数 128

4.3 全微分及其应用 130

4.4 多元函数的复合函数的求偏导法则和隐函数求偏导 131

4.4.1 复合函数求偏导 131

4.4.2 隐函数求偏导 133

4.5 偏导数的几何意义 134

4.5.1 空间曲线的切线和法平面 134

4.5.2 空间曲面的切平面和法线 135

4.6 多元函数的方向导数和梯度 136

4.6.1 方向导数 136

4.6.2 梯度 137

4.7 多元函数的极值及其求法 137

4.7.1 多元函数的条件极值 139

4.8 二重积分的概念和性质 140

4.8.1 二重积分定义 140

4.8.2 二重积分的性质 140

4.9 二重积分的计算 141

4.9.1 累次积分 141

4.10 三重积分 144

4.10.1 三重积分定义 144

4.10.2 三重积分的计算 144

4.10.3 累次积分 144

4.10.4 重积分的变量代换 146

4.11 重积分的应用 148

4.12 曲线积分 149

4.12.1 第一型曲线积分 149

4.12.2 第二型曲线积分 151

4.12.3 格林公式 153

4.13 曲面积分 155

4.13.1 第一型曲面积分 155

4.13.2 第二型曲面积分 157

Chapter 5 无穷级数 161

5.1 级数的概念和性质 161

5.1.1 级数性质 162

5.1.2 级数收敛的必要条件 162

5.1.3 正项级数 163

5.1.4 交错级数 165

5.1.5 绝对收敛和条件收敛 165

5.2 幂级数 166

5.2.1 幂级数的收敛半径 167

5.2.2 函数项级数逐项积分和逐项求导 168

5.2.3 函数展开成幂级数 171

5.3 傅里叶级数 172

Chapter 6 微分方程 176

6.1 可分离变量的微分方程 176

6.2 齐次方程 177

6.3 一阶线性微分方程 177

6.4 可降阶的微分方程 179

6.5 二阶线性微分方程解的结构 180

6.6 二阶常系数线性齐次方程 182

6.7 二阶常系数非齐次方程 183

6.7.1 f（x）＝eλxPm（x） 183

6.7.2 f（x）＝eaxPm（x），（b≠0，a是实数 185

6.7.3 贝努力方程和欧拉方程 186

6.8 一阶全微分方程 186

Chapter 7 差分方程 188

7.1 差分方程的基本概念 188

7.2 线性差分方程解的结构 189

7.3 一阶线性差分方程 189

Chapter 8 总练习题 192

8.1 一元函数练习题 192

8.2 线性代数练习题 213

8.3 空间解析几何练习题 222

8.4 多元函数微积分练习题 225

8.5 级数练习题 242

8.6 微分方程练习题 247

8.7 线性代数试题2012A 252

8.8 线性代数试题2012B 254

8.9 99级线性代数模拟题1-6 256

8.10 高等数学2010年考题 265

8.11 高等数学2012考题 266

8.12 总练习题答案 268

8.12.1 一元函数练习题部分答案 268

8.12.2 线性代数练习题答案 268

8.12.3 空间解析几何、多元函数、级数和微分方程练习题答案 273

8.12.4 线性代数2012A考题答案 278

8.12.5 线性代数2012B考题答案 281

8.12.6 高等数学2012考题答案 283

Chapter 9 附录 为物理专业补充的内容 286

9.1 傅里叶级数收敛定理的证明 286

9.2 一阶常微分方程组、解的存在性和唯一性 290

9.2.1 一阶常微分方程组 290

9.2.2 一阶常微分方程组的解的结构 291

9.2.3 常系数线性方程组 293

9.2.4 消去法 293

9.2.5 常数变易法 294

9.2.6 首次积分 294

9.2.7 解的存在与唯一性 295

9.2.8 解的延拓 297

9.3 柯西公式 298

9.4 有限复盖定 300

参考文献 301

后记 302