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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合、区间和邻域 1

1.1.2 函数的概念 4

1.1.3 函数的几种特性 6

1.1.4 反函数与复合函数 8

1.1.5 初等函数 11

1.1.6 经济学中几个常见的函数 12

习题1-1 15

1.2 数列极限 17

1.2.1 数列极限的概念 17

1.2.2 数列极限的性质 20

1.2.3 数列极限存在的两个准则 23

习题1-2 26

1.3 函数极限 27

1.3.1 函数极限的概念 27

1.3.2 函数极限的性质 32

1.3.3 函数极限存在的夹逼准则和两个重要极限 35

习题1-3 37

1.4 无穷小量与无穷大量 38

1.4.1 无穷小量 38

1.4.2 无穷大量 39

1.4.3 无穷小量阶的比较 40

习题1-4 42

1.5 函数的连续性 42

1.5.1 连续函数的定义 42

1.5.2 间断点及其分类 43

1.5.3 连续函数的运算 44

1.5.4 初等函数的连续性 45

1.5.5 闭区间上连续函数的性质 46

习题1-5 48

综合练习1 49

第2章 导数与微分 51

2.1 导数的概念 51

2.1.1 概念的引入 51

2.1.2 导数的定义 52

2.1.3 例题 53

2.1.4 可导与连续的关系 55

习题2-1 56

2.2 求导法则 57

2.2.1 导数的四则运算法则 57

2.2.2 反函数的求导法则 60

2.2.3 复合函数的求导法则 62

2.2.4 基本导数公式与求导法则 63

习题2-2 64

2.3 高阶导数 65

2.3.1 高阶导数的定义 65

2.3.2 高阶导数的运算法则 67

习题2-3 69

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 69

2.4.1 隐函数的导数 69

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 71

习题2-4 72

2.5 微分及其应用 73

2.5.1 微分的概念 73

2.5.2 微分公式与运算法则 75

2.5.3 微分在近似计算中的应用 76

习题2-5 78

综合练习2 78

第3章 微分中值定理与导数的应用 80

3.1 微分中值定理 80

3.1.1 罗尔定理 80

3.1.2 拉格朗日中值定理 82

3.1.3 柯西中值定理 84

习题3-1 85

3.2 洛必达法则 86

3.2.1 未定式的类型 86

3.2.2 0/0型的极限 86

3.2.3 ∞/∞型的极限 88

3.2.4 其他未定式的极限 90

习题3-2 91

3.3 泰勒公式 92

习题3-3 97

3.4 函数的单调性、极值与最值 97

3.4.1 函数的单调性 97

3.4.2 函数的极值 99

3.4.3 函数的最值 101

习题3-4 102

3.5 曲线的凹凸性与拐点 103

习题3-5 105

3.6 函数图形的描绘 106

3.6.1 曲线的渐近线 106

3.6.2 函数作图 108

习题3-6 111

3.7 导数在经济学中的应用 111

3.7.1 边际与边际分析 111

3.7.2 弹性与弹性分析 114

习题3-7 117

综合练习3 118

第4章 不定积分 120

4.1 不定积分的概念与性质 120

4.1.1 原函数与不定积分的概念 120

4.1.2 不定积分的性质 122

4.1.3 基本积分公式 122

习题4-1 124

4.2 换元积分法 126

4.2.1 第一类换元积分法 126

4.2.2 第二类换元积分法 129

习题4-2 133

4.3 分部积分法 135

习题4-3 138

4.4 几种特殊类型函数的不定积分 138

4.4.1 有理函数的不定积分 138

4.4.2 三角函数有理式的不定积分 140

4.4.3 简单无理函数的不定积分 141

习题4-4 142

综合练习4 142

第5章 定积分及其应用 146

5.1 定积分的概念与性质 146

5.1.1 定积分问题举例 146

5.1.2 定积分的定义 148

5.1.3 定积分的性质 150

习题5-1 154

5.2 微积分的基本公式 154

5.2.1 积分上限函数 155

5.2.2 牛顿—莱布尼兹公式 158

习题5-2 161

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 162

5.3.1 换元积分法 162

5.3.2 分部积分法 165

习题5-3 168

5.4 定积分的应用 169

5.4.1 在几何上的应用 169

5.4.2 在经济上的应用 181

习题5-4 182

5.5 广义积分与Γ函数 182

5.5.1 无穷限的广义积分 183

5.5.2 无界函数的广义积分 185

5.5.3 Γ函数 188

习题5-5 189

综合练习5 189

第6章 向量代数与空间解析几何 193

6.1 空间直角坐标系 193

6.1.1 空间直角坐标系 193

6.1.2 空间两点间的距离 194

习题6-1 195

6.2 向量及其线性运算 195

6.2.1 向量的概念 195

6.2.2 向量的线性运算 196

6.2.3 向量在轴上的投影和向量的坐标 197

6.2.4 向量的模、方向余弦的坐标表达式 199

习题6-2 200

6.3 数量积与向量积 200

6.3.1 两向量的数量积 200

6.3.2 两向量的向量积 202

习题6-3 205

6.4 平面及其方程 205

6.4.1 平面的点法式方程 205

6.4.2 平面的一般式方程 206

6.4.3 两平面的夹角 208

6.4.4 点到平面的距离 209

习题6-4 210

6.5 空间直线及其方程 210

6.5.1 空间直线的一般方程 210

6.5.2 空间直线的对称式方程与参数方程 211

6.5.3 两直线的夹角及平面与直线的夹角 212

6.5.4 平面束 214

习题6-5 215

6.6 曲面及其方程 215

6.6.1 曲面方程的概念 215

6.6.2 旋转曲面 216

6.6.3 柱面 218

6.6.4 其他常见的二次曲面 219

习题6-6 224

6.7 空间曲线及其方程 224

6.7.1 空间曲线的一般方程及参数方程 224

6.7.2 空间曲线在坐标面上的投影 225

习题6-7 227

综合练习6 227

第7章 多元函数微分学 231

7.1 多元函数的极限与连续性 231

7.1.1 平面点集 231

7.1.2 多元函数的概念 233

7.1.3 多元函数的极限 234

7.1.4 多元函数的连续性 237

习题7-1 238

7.2 偏导数 239

7.2.1 偏导数的定义及计算法 239

7.2.2 高阶偏导数 243

7.2.3 偏导数在经济学中的应用 245

习题7-2 248

7.3 全微分 249

7.3.1 全微分的定义 249

7.3.2 全微分在近似计算中的应用 252

习题7-3 253

7.4 多元复合函数及隐函数的求导法则 254

7.4.1 多元复合函数的求导法则 254

7.4.2 隐函数的求导法则 258

习题7-4 262

7.5 多元函数微分法的应用 263

7.5.1 空间曲线的切线与法平面 263

7.5.2 曲面的切平面与法线 266

习题7-5 268

7.6 多元函数的极值及求法 268

7.6.1 多元函数的极值 269

7.6.2 多元函数的最值 271

7.6.3 条件极值与拉格朗日乘数法 271

习题7-6 276

7.7 多元函数的泰勒公式 276

习题7-7 279

综合练习7 279

第8章 多元函数积分学 283

8.1 二重积分的概念与性质 283

8.1.1 二重积分的概念 283

8.1.2 二重积分的性质 286

习题8-1 287

8.2 二重积分的计算 288

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分 288

8.2.2 利用极坐标计算二重积分 294

习题8-2 298

8.3 二重积分的应用 300

8.3.1 二重积分在几何中的应用 300

8.3.2 二重积分在经济中的应用 303

习题8-3 304

8.4 三重积分 305

8.4.1 三重积分的概念 305

8.4.2 三重积分的性质 305

8.4.3 三重积分的计算 306

习题8-4 311

综合练习8 312

第9章 无穷级数 315

9.1 数项级数的概念与基本性质 315

9.1.1 数项级数及其敛散性 315

9.1.2 级数的基本性质 318

习题9-1 321

9.2 数项级数的审敛法 322

9.2.1 正项级数及其审敛法 322

9.2.2 交错级数及莱布尼茨定理 327

9.2.3 级数的绝对收敛与条件收敛 329

习题9-2 331

9.3 幂级数 332

9.3.1 函数项级数的概念 332

9.3.2 幂级数及其收敛区间 332

9.3.3 幂级数的运算及性质 335

习题9-3 338

9.4 函数的幂级数展开 338

9.4.1 泰勒级数 338

9.4.2 初等函数的幂级数展开 341

习题9-4 344

9.5 无穷级数应用实例 345

综合练习9 346

第10章 常微分方程 348

10.1 微分方程的基本概念 348

10.1.1 引例 348

10.1.2 基本概念 349

习题10-1 352

10.2 一阶微分方程 352

10.2.1 变量可分离的微分方程 353

10.2.2 齐次方程 356

10.2.3 一阶线性微分方程 359

10.2.4 伯努利方程 363

10.2.5 全微分方程 365

习题10-2 367

10.3 可降阶的高阶微分方程 368

10.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 368

10.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 368

10.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 370

习题10-3 372

10.4 高阶线性微分方程 372

10.4.1 基本概念 372

10.4.2 线性微分方程的解的结构 373

10.4.3 二阶常系数齐次线性微分方程 375

10.4.4 二阶常系数非齐次线性微分方程 378

10.4.5 欧拉方程 382

习题10-4 383

10.5 差分方程 384

10.5.1 差分的概念与性质 384

10.5.2 差分方程的基本概念 386

10.5.3 线性差分方程解的结构 388

10.5.4 一阶常系数线性差分方程 389

10.5.5 二阶常系数线性差分方程 394

10.5.6 差分方程经济应用举例 398

习题10-5 399

综合练习10 400

参考答案 403

参考文献 428