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第五章 空间解析几何 1

第一节 空间直角坐标系·向量 1

5.1.1 空间直角坐标系 1

5.1.2 向量的基本概念 3

5.1.3 向量在轴上的射影 4

5.1.4 向量的加法与数乘 6

习题5.1 11

第二节 向量的内积外积与混合积 13

5.2.1 向量的内积 13

5.2.2 向量的外积 16

5.2.3 向量的混合积 21

习题5.2 23

第三节 平面与直线 24

5.3.1 平面的方程 24

5.3.2 直线的方程 29

5.3.3 直线与平面的关系 35

5.3.4 平面束 37

习题5.3 39

第四节 空间曲面 41

5.4.1 球面 41

5.4.2 柱面 42

5.4 3 锥面 44

5.4.4 旋转曲面 46

5.4.5 坐标变换 49

5.4.6 二次曲面的标准方程 52

习题5.4 55

第五节 空间曲线 57

5.5.1 曲线的一般式方程 57

5.5.2 曲线的参数方程 57

5.5.3 空间曲线在坐标平面上的投影 58

习题5.5 60

第六章 偏微分学 61

第一节 多元函数·极限·连续性 61

6.1.1 欧几里得空间·点集基本知识 61

6.1.2 多元函数概念 64

6.1.3 二元函数极限 68

6.1.4 累次极限 72

6.1.5 二元函数连续性 73

6.1.6 连续函数的性质·一致连续性 75

习题6.1 77

第二节 偏导数·全微分 79

6.2.1 偏导数 79

6.2.2 全微分 81

习题6.2 85

第三节 复合函数与隐函数的微分法 87

6.3.1 复合函数微分法 87

6.3.2 隐函数微分法 92

习题6.3 97

第四节 高阶偏导数·高阶微分 99

6.4.1 高阶偏导数 99

6.4.2 高阶微分 103

6.4.3 泰勒公式 105

习题6.4 107

第五节 偏导数在几何上的应用 109

6.5.1 空间曲线的切线与法平面 109

6.5.2 空间曲面的切平面与法线 112

6.5.3 包络 117

习题6.5 121

第六节 极值·条件极值 122

6.6.1 极值的定义与必要条件 122

6.6.2 极值存在的充分条件 123

6.6.3 最大值·最小值 128

6.6.4 条件极值（拉格朗日乘数法） 131

习题6.6 137

第七节 方向导数 138

习题6.7 141

第七章 重积分 142

第一节 二重积分 142

7.1.1 二重积分定义 142

7.1.2 二重积分的性质 144

7.1.3 二重积分的计算（累次积分法） 146

习题7.1（1） 153

7.1.4 二重积分换元公式 155

7.1.5 二重积分的计算（换元积分法） 158

习题7.1（2） 168

第二节 三重积分 170

7.2.1 三重积分的定义与性质 170

7.2.2 三重积分的计算（累次积分法） 172

习题7.2（1） 181

7.2.3 三重积分换元公式 183

7.2.4 三重积分的计算（换元积分法） 184

习题7.2（2） 193

第三节 重积分的近似计算 194

7.3.1 推广的梯形公式 194

7.3.2 推广的辛卜生公式 197

7.3.3 近似函数法 201

习题7.3 202

第四节 重积分的应用 203

7.4.1 立体的体积 203

7.4.2 曲面的面积 206

7.4.3 引力 211

7.4.4 质心 213

7.4.5 转动惯量 218

习题7.4 220

第八章 曲线积分·曲面积分第一节 曲线积分 222

8.1.1 空间曲线的弧长 222

8.1.2 第一型曲线积分 227

8.1.3 第二型曲线积分 233

习题8.1 242

第二节 曲面积分 244

8.2.1 第一型曲面积分 244

8.2.2 双侧曲面 251

8.2.3 第二型曲面积分 255

习题8.2 264

第三节 线积分、面积分、体积分间的联系 265

8.3.1 格林定理 266

8.3.2 斯托克斯定理 275

8.3.3 高斯定理 281

8.3.4 多元微积分基本定理 287

习题8.3 293

第四节 曲线积分、曲面积分应用举例 296

习题8.4 300

第九章 场论 302

第一节 基本概念 302

9.1.1 向量函数的导数与积分 302

9.1.2 向量场·数量场 307

9.1.3 哈密顿算子？ 308

习题9.1 311

第二节 直角坐标下的梯度散度与旋度 312

9.2.1 梯度 312

9.2.2 散度 315

9.2.3 旋度 319

9.2.4 无源场·无旋场 324

9.2.5 场论在物理上的应用 330

习题9.2 332

第三节 正交曲线坐标下的梯度散度与旋度 334

9.3.1 正交曲线坐标 334

9.3.2 弧长元素·曲面元素·体积元素 337

9.3.3 正交曲线坐标下的三度表达式 339

习题9.3 347

第十章 广义积分学 348

第一节 广义积分 348

10.1.1 两类广义积分的定义 348

10.1.2 基本性质 351

10.1.3 基本公式 352

习题10.1（1） 355

10.1.4 敛散性判别法 356

习题10.1（2） 365

第二节 广义重积分简介 366

10.2.1 两类广义二重积分的定义 366

10.2.2 敛散性判别法 367

习题10.2 369

第三节 含参变量积分 369

10.3.1 含参变量定积分 369

10.3.2 含参变量广义积分·一致收敛性 375

习题10.3 382

第四节 欧拉积分 383

10.4.1 Γ函数的定义 383

10.4.2 Γ函数的性质 384

10.4.3 B函数的定义 386

10.4.4 B函数的性质 388

10.4.5 斯特林公式 390

习题10.4 391

附录 向量公式 393

习题答案与提示 394

索引 418

参考文献 423