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第一编 自修纲要 1

第一章 数学纲要 1

第一节 代数 1

1.二项定理 1

2.行列式运算 2

3.对数性质 2

4.部分分数 3

第二节 函数 5

1.变数及常数 5

2.函数定义 5

3.因变数及自变数 6

4.代数函数及超越函数 6

5.有理函数 6

6.显函数及隐函数 7

7.单值函数及多值函数 7

8.函数记号 7

9.逆函数 8

第三节 级数 9

1.？级数及发级数 9

2.绝对收？及条件收？ 9

3.级数测验 10

(a)普通测验法 10

(b)比较测验法 10

(c)比率测验法 11

4.常用级数 12

(a)几何级数 12

(b)调和级数 12

(c)二项级数 12

(d)指数级数 13

(e)对数级数 13

(f)幂级数 13

第四节 三角公式 14

1.弧度法 14

2.基本关系 14

3.两角和及差的函数 14

4.倍角函数 15

5.半角函数 15

6.函数的和与差 15

7.正弦定律 16

8.余弦定律 16

9.正切定律 16

10.逆函数 16

11.三角形面积 16

12.等边三角形面积 17

第五节 几何公式 17

1.面积 17

2.表积 17

3.体积 17

第六节 解析几何 18

1.两点间的距离 18

2.三角形面积 18

3.直线方程式 18

4.圆方程式 20

5.抛物线方程式 21

6.椭圆方程式 21

7.双曲线方程式 22

8.立体解析几何 22

9.圆锥曲线 26

第二章 微分纲要 27

第一节 极限 27

1.极限的意义 27

2.极限的记号 27

3.极限的特例 27

第二节 增量 28

第三节 导数 28

第四节 微分法及微分公式 29

1.代数函数的微分公式 29

2.对数函数及指数函数微分公式 32

3.三角函数微分公式 34

4.反三角函数微分公式 37

第五节 逐次微分法 41

1.马克劳林定理 41

2.台劳定理 42

3.来本之定理 44

第六节 微分 45

第七节 导数间的关系 45

第八节 导数变换 46

第九节 偏微分 48

第十节 全微分 49

第十一节 极大及极小 50

1.一自变数的极人值及极小值 50

2.两自变数的极人值及极小值 51

3.三自变数的极人值及极小值 52

第十二节 曲线方向 52

(a)直角坐标 52

(b)极坐标 53

第十三节 两曲线交角 54

(a)直角坐标 54

(b)极坐标 54

第十四节 切线及法线方程式 55

第十五节 渐近线 56

第十六节 弧导数 57

(a)直角坐标 57

(b)极坐标 58

第十七节 湾曲方向 58

第十八节 反曲点 59

第十九节 曲率圆 60

第二十节 曲率半径 60

第二十一节 曲率中心 61

第二十二节 渐屈线及渐伸线 62

第二十三节 相切阶 62

第二十四节 包络 63

第三章 积分纲要 65

第一节 积分定义 65

第二节 积分原理 65

(a)积分常数 65

(b)积分的和 65

(c)常口数 65

第三节 积分基本公式 66

第四节 定积分应用 72

1.求面积法 72

(a)直角坐标 72

(b)极坐标 73

2.求弧长法 74

(a)直角坐标 74

(b)极坐标 75

3.求体积法 76

4.求表积法 77

5.断面求积法 78

第五节 重积分 78

第六节 重积分应用 79

1.转动价量 79

(a)平面转动惯量 79

(b)立体转动惯量 82

2.旋转体积及表积 83

3.任何立体的表积及体积 83

(a)表积 83

(b)体积 86

第七节 重心 87

1.白波氏定理 88

第八节 吸引力 88

第四章 附录 90

第一节 曲线备考 90

1.？形线 90

2.箕舌线 90

3.？叶线 91

4.悬链线 92

5.正焦弦抛物线 93

6.三次抛物线 93

7.半三次抛物线 94

8.曲线？ 94

9.曲线a4y2=a2x4-x6 94

10.圆r=asinθ+b cosθ 95

11.阿基米德螺线 95

12.双曲螺线 96

13.对数螺线 97

14.焦点抛物线 97

15.等轴双曲线 98

16.双纽线 99

17.四瓣？薇线 99

18.心脏线 100

19.摆线 100

20.准摆线 101

21.外摆线 102

22.内摆线 104

第二节 双曲线函数及公式 105

第三节 微分公式备考 110

(A)导数 110

(B)微分 112

第四节 积分公式备考 113

第五节 积分辅助公式 119

附原名及译名对照表 121

第二编 微分例题详解 129

例题(一)函数 129

例题(二)导数 134

例题(三)导数应用 141

例题(四)初步微分法 147

例题(五)对数及指数函数微分法 168

例题(六)三角函数微分法 185

例题(七)三角反函数微分法 202

例题(八)导数关系 216

例题(九)？次微分法 223

例题(十)来本之定理应用 236

例题(十一)微分及无穷小 240

例题(十二)隐函数导数 243

例题(十三)级数测验 250

例题(十四)收？值判定 256

例题(十五)马克劳林氏定理应用 259

例题(十六)级数计算 277

例题(十七)台劳氏定理应用 280

例题(十八)不定型 288

例题(十九)不定型(续) 293

例题(二十)极大及极小条件 299

例题(二十一)极大及极小应用问题 314

例题(二十二)偏微分法 348

例题(二十三)切面及法线方程式 355

例题(二十四)高阶偏微分法 360

例题(二十五)全导数及全微分 369

例题(二十六)台劳氏定理推演 378

例题(二十七)导数变换 380

例题(二十八)多变数函数极大与极小值 387

例题(二十九)曲线方向；切线及法线；切距及交角 406

例题(三十) 任一点(x′，y′)切线及法线方程式 418

例题(三十一)渐近线方程式 426

例题(三十二)极坐标曲线方向 431

例题(三十三)曲率定向及反曲点 442

例题(三十四)曲率半径 449

例题(三十五)曲率中心及渐屈线 461

例题(三十六)相切阶 468

例题(三十七)包络方程式 473

第三编 积分例题详解 485

例题(一)基本积分式 485

例题(二)指数积分式 493

例题(三)三角函数积分式 495

例题(四)其他重要积分式 505

例题(五)积分简单应用 514

例题(六)常数判定 520

例题(七)有理分数积分法 530

(A)分母因数均为一次，且无重复 530

(B)分母因数均为一次，但有重复 535

(C)分母含有二次因数，但无重复 539

(D)分母含有二次因数，且有重复 550

例题(八)无理函数积分法 567

(A)含有(ax+b)？积分法 567

(B)含有？积分法 576

例题(九) 三角函数简易积分法 581

(A)sinn xdx，cosn xdx 及 sinm x cosn xdx积分法 581

(B)tann xdx，cotn xdx，secn xdx，cosecn xdx，tanm x secn xdx及cotm x cosecn xdx积分法 585

(C)用倍角公式求sinm x coxn xdx积分法 592

例题(十)部分积分法 595

例题(十一)含有eax sin nxdx及eax cos nxdx积分法 611

例题(十二)用辅助公式求积分法 618

(Ⅰ)二项代数式 618

(Ⅱ)三角函数 630

例题(十三) 代换积分法 637

(A)含有(a+bx2)？积分法 637

(B)含有？用三角函数代换积分法 639

(C)三角函数用代数代换积分法 648

(D)以？有理数代换积分法 654

(E)混合代换法 659

例题(十四)积分求和法 664

例题(十五)广义积分法 677

例题(十六)变更极限法 678

例题(十七)定积分求面积法 683

(A)直角坐标 683

(B)极坐标 696

例题(十八)定积分求弧长法 706

(A)直角坐标 706

(B)极坐标 715

例题(十九)定积分求旋转曲面体积法 723

例题(二十)定积分求旋转曲面表积法 734

例题(二十一)断面求体积法 743

例题(二十二)重积分法 750

例题(二十三)重积分应用 754

(A)直角坐标 754

(B)极坐标 766

(C)求旋转曲面体积及表积 769

例题(二十四)求任何立体表积、体积及转动惯量 776

(A)求表积法 776

(B)求体积法 784

(C)求转动惯量 792

例题(二十五)求重心法 797

例题(二十六)应用白波氏定理求旋转表积及体积 810

例题(二十七)流体压力 811

例题(二十八)流体压力中心 820

例题(二十九)吸引力 825

例题(三十)双曲线函数 827