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第一章 光滑曲线上的赫尔德函数类及其性质 1

1. 光滑曲线 标准弧 1

1.1 光滑曲线和它的某些性质 1

1.2 标准弧和它的某些性质 4

2. 赫尔德条件(条件H)和赫尔德函数类 5

2.1 赫尔德条件和赫尔德函数类的一般概念 5

2.2 光滑曲线上的H类函数 6

3. 光滑曲线上H类函数的特征 8

3.1 H类函数的最简单特征 8

3.2 常见的一些H类函数 9

3.3 H类函数的一个判定定理 12

3.4 关于幅角函数的导数 16

第一章习题 18

4.1 连续函数的左(右)边界值 21

4. 连续函数的边界值与分片全纯函数 21

第二章 哥西型积分及其边界值性质 21

4.2 分片全纯函数 23

5. 哥西型积分及其边界值 24

5.1 哥西型积分的定义 24

5.2 哥西型积分的主值 25

5.3 哥西型积分的边界值 30

6. 索霍茨基--普来梅公式及其推广 37

6.1 索霍茨基--普来梅公式 37

6.2 边界值差之公式的推广 38

7. 哥西型积分边界值的连续性质 41

7.1 普来梅--普里瓦洛夫定理 41

7.2 哥西积分主值的连续性质 46

第二章习题 48

8.1 希尔伯特问题的提法 54

第三章 希尔伯持边值问题 54

8. 希尔伯特问题的提法以及有关概念 54

8.2 指标的概念 55

8.3 按给定的跳跃函数求分片全纯函数的问题 56

9. 齐次希尔伯特问题 57

9.1 单连通域上齐次希尔伯特问题的标准解 57

9.2 多连通域上齐次希尔伯特问题的标准解 59

9.3 齐次希尔伯特问题的一般解 60

9.4 相联齐次希尔伯特问题 62

10. 非齐次希尔伯特问题 62

11. 具有有理系数的希尔伯特问题 64

第三章习题 67

12. 带有哥西型核的奇异算子 71

12.1 奇异方程和奇异算子 71

第四章 带有哥西型核的奇异积分方程 71

12.2 奇异算子的指标 74

12.3 奇异算子的合成(乘积) 74

12.4 相联算子和相联方程 77

12.5 奇异算子的正则化算子 78

13. 朋卡来--毕特朗换序公式 79

14. 特征方程的解 88

14.1 化特征方程为对应的希尔伯特问题 88

14.2 特征方程解的公式 89

14.3 特征方程的相联方程的解 93

15. 奇异积分方程的基本定理 97

15.1 奇异积分方程的正则化 97

15.2 弗雷德霍姆方程解的一个性质 98

15.3 维库阿等价性定理 100

15.4 奇异积分方程的基本定理 102

15.5 奇异积分方程与弗雷德霍姆方程的对比 104

16. 卡来曼--维库阿正则化方法 106

17. 基本定理的另一种证明方法 109

17.1 弗雷德霍姆方程的豫解式 109

17.2 再论奇异积分方程的基本定理 115

18. 含参数λ的奇异积分方程 121

第四章习题 124

第五章 奇异积分方程在某些边值问题中的应用 128

19. 广义哈尔那克定理 128

19.1 在边界上给定的连续函数能做为某一解析函数边界值的条件 128

19.2 广义哈尔那克(A.Harnack)定理 131

20. 狄里克雷问题 133

20.1 狄里克雷问题和变形狄里克雷问题 133

20.2 唯一性定理 135

20.3 借助变形的单层位势解变形狄里克雷问题 137

20.4 借助双层位势解变形狄里克雷问题 142

20.5 一些推论 146

21. 狄里克雷问题 149

21.1 化狄里克雷问题为变形狄里克雷问题 149

21.2 解析函数的表示式 152

第五章习题 156

第六章 黎曼--希尔伯特边值问题 158

22. 单连通区域上的史瓦尔兹问题 158

22.1 单连通区域上的史瓦尔兹算子 159

22.2 根据解析函数(它可以具有极点)的实部在边界上的值，来确定该解析函数的问题(问题A) 161

22.3 正则化因子 164

23.1 问题的提法 171

23.2 齐次问题(c(s)≡0的情形) 171

23. 单连通区域的黎曼--希尔伯特问题 171

23.3 非齐次问题(c(s)？0的情形) 173

23.4 单位圆情形的黎曼--希尔伯特问题 174

23.5 黎曼--希尔伯特外问题 179

23.6 黎曼--希尔伯特问题与希尔伯特问题之间的联系 182

24. 多连通区域的黎曼--希尔伯特问题 190

24.1 问题的提法 191

24.2 变形黎曼--希尔伯特问题 191

24.3 常系数的黎曼--希尔伯特问题 197

24.4 化黎曼--希尔伯特问题为常系数的黎曼--希尔伯特问题 199

25. 黎曼--希尔伯特问题的相联问题 207

25.1 黎曼--希尔伯特问题对应的奇异积分方程 207

25.2 相联积分方程和相联黎曼--希尔伯特问题 209

25.3 可解性问题的研究 212

第六章习题 215

第七章 多个未知函数的希尔伯特问题和奇异积分方程组 220

26. 多个未知函数的齐次希尔伯特问题 220

26.1 有关的基本概念和公式 220

26.2 解析向量函数的边界值性质 222

26.3 齐次希尔伯特问题 224

26.4 齐次希尔伯特问题的标准解组及其一般解 234

27. 非齐次希尔伯特问题 247

28. 带哥西型核的奇异积分方程组 250

28.1 有关的概念和公式 250

28.2 特征奇异积分方程组的解 255

28.3 奇异积分方程组的基本定理 263

附录 弗雷德霍姆积分方程 265

参考文献 280

索引 281