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目录 1

第9章 空间解析几何与向量代数 1

9.1 空间直角坐标系 1

9.1.1 空间直角坐标系 1

9.1.2 空间点的直角坐标 2

9.1.3 两点间的距离 3

习题9.1 4

9.2 向量代数 4

9.2.1 向量概念 4

9.2.2 向量的加减法 5

9.2.3 向量与数的乘法 7

9.3 向量的坐标 8

习题9.2 8

9.3.1 向量在轴上的投影 9

9.3.2 分向量与向量的坐标 10

9.3.3 向量的模与方向余弦 12

习题9.3 14

9.4 向量的数量积、向量积、混合积 14

9.4.1 两向量的数量积 14

9.4.2 两向量的外积 17

9.4.3 向量的混合积 21

习题9.4 23

9.5 空间的直线与平面 24

9.5.1 平面的方程 25

9.5.2 两平面的相互关系 29

9.5.3 点到平面的距离 30

9.5.4 空间的直线方程 31

9.5.5 平面与直线间的关系、平面束 37

习题9.5 39

9.6 几种常见的二次曲面 41

9.6.1 柱面、投影柱面 41

9.6.2 球面 44

9.6.3 锥面 45

9.6.4 旋转曲面 47

9.6.5 椭球面 49

9.6.6 双曲面 51

9.6.7 抛物面 53

习题9.6 55

9.7 坐标轴的变换 56

9.7.1 坐标轴的平移 57

9.7.2 坐标轴的旋转 58

习题9.7 60

9.8 曲面方程与曲线方程 60

9.8.1 曲面的一般方程与参数方程 60

9.8.2 曲线的一般方程与参数方程 62

9.8.3 曲线在坐标面上的投影 64

9.8.4 曲线的一般方程与参数方程的互化 65

习题9.8 66

第9章总练习题 67

第10章 多元函数微分学 70

10.1 多元函数 70

10.1.1 平面点集 70

10.1.2 R2的几个基本定理 76

10.1.3 多元函数的基本概念 77

习题10.1 80

10.2 多元函数的极限与连续性 82

10.2.1 多元函数的极限 82

10.2.2 多元函数的连续性 88

10.2.3 有界闭区域上连续函数的性质 91

习题10.2 92

10.3 偏导数与全微分 93

10.3.1 偏导数及高阶偏导数的概念和计算 94

10.3.2 全微分 101

10.3.3 方向导数 111

习题10.3 116

10.4.1 链锁法则 117

10.4 复合函数微分法 117

10.4.2 一阶全微分形式的不变性 125

习题10.4 127

10.5 隐函数存在定理与隐函数微分法 128

10.5.1 一个方程、一个自变量情形 128

10.5.2 一个方程，n（n≥2）个自变量的情形 132

10.5.3 方程组的情形 134

＊10.5.4 变量代换 141

习题10.5 143

10.6 多元函数微分学在几何中的应用 145

10.6.1 空间曲线的切线与法平面 145

10.6.2 曲面的切平面与法线 150

习题10.6 155

10.7.1 二元函数泰勒公式 156

10.7 多元函数极值 156

10.7.2 多元函数极值的必要条件与充分条件 161

＊10.7.3 最小二乘法 167

10.7.4 条件极值、拉格朗日乘数法 171

习题10.7 175

第10章总练习题 176

第11章 重积分 179

11.1 二重积分 179

11.1.1 二重积分的概念与性质 179

11.1.2 二重积分的计算 183

习题11.1 201

11.2 三重积分 204

11.2.1 三重积分的概念 204

11.2.2 三重积分的计算 206

习题11.2 219

11.3 重积分的应用 221

11.3.1 几何上的应用 221

11.3.2 物理中的应用 225

习题11.3 232

第11章总练习题 233

第12章 曲线积分与曲面积分 236

12.1 曲线积分 236

12.1.1 第一型曲线积分的概念、性质及计算 236

12.1.2 第二型曲线积分的概念、性质及计算 243

12.1.3 两类曲线积分之间的联系 250

习题12.1 253

12.2.1 格林公式 255

12.2 格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件 255

12.2.2 平面曲线积分与路径无关的条件 262

习题12.2 267

12.3 曲面积分 268

12.3.1 第一型曲面积分的概念、性质及计算 268

12.3.2 第二型曲面积分的概念、性质及计算 272

习题12.3 281

12.4 高斯公式、斯托克斯公式 282

12.4.1 高斯公式 282

12.4.2 斯托克斯公式 288

＊12.4.3 空间曲线积分与路径无关的条件 292

习题12.4 294

＊12.5 场论简介 295

12.5.1 数量场的等值面与梯度 296

12.5.2 算符？的介绍 298

12.5.3 向量场的向量线 299

12.5.4 向量场的通量与散度 300

12.5.5 向量场的环量与旋度 305

12.5.6 保守场等几个重要的向量场 311

习题12.5 314

第12章总练习题 315

＊第13章 含参变量的积分 318

13.1 含参变量的常义积分 318

13.1.1 积分限固定的情形 318

13.1.2 积分限变动的情形 324

习题13.1 325

13.2.1 一致收敛的概念 326

13.2 含参变量的广义积分 326

13.2.2 一致收敛的判别法 328

13.2.3 一致收敛的含参变量的广义积分的性质 331

13.2.4 Γ函数与B函数（欧拉积分） 336

13.2.5 几个重要的例子 342

习题13.2 344

第13章总练习题 346

第14章 一阶常微分方程 349

14.1 微分方程的基本概念 349

14.1.1 微分方程 349

14.1.2 微分方程的解 351

习题14.1 353

14.2.1 可分离变量的一阶微分方程 354

14.2 一阶微分方程 354

14.2.2 可化为变量分离方程的一阶微分方程 356

习题14.2 360

14.3 一阶线性微分方程 361

14.3.1 一阶线性微分方程的概念 361

14.3.2 贝努利（Bernoulli）方程 364

习题14.3 365

14.4 全微分方程 365

14.4.1 全微分方程的概念 365

14.4.2 积分因子法 368

习题14.4 371

14.5 一阶微分方程解的存在惟一性定理 371

14.5.1 存在惟一性定理 372

14.5.2 逐次逼近法与误差估计 378

习题14.5 379

14.6 一阶隐微分方程 380

14.6.1 可就y或x解出的方程 380

14.6.2 不显含y或x的方程 383

习题14.6 385

14.7 一阶微分方程应用举例 385

习题14.7 388

第15章 高阶常微分方程 389

15.1 几类特殊的高阶方程 390

15.1.1 类型y(n)=f(x) 390

15.1.2 类型F(x，y(n))=0 391

15.1.3 类型y(n)=f(y(n-1)) 391

15.1.4 类型y″=f(x,y′) 392

15.1.5 类型y″=(y,y′) 395

习题15.1 396

15.2 n阶线性常微分方程 397

15.2.1 基本概念 397

15.2.2 n阶齐次线性方程解的结构 399

15.2.3 n阶非齐次线性方程的通解 405

15.2.4 降阶法和常数变易法 406

习题15.2 409

15.3 高阶常系数线性微分方程 410

15.3.1 二阶常系数齐次线性方程 411

15.3.2 二阶常系数非齐次线性方程 414

15.3.3 n阶常系数线性方程 419

＊15.3.4 常系数非齐次线性微分方程的算子解法 424

15.3.5 欧拉方程 432

习题15.3 434

15.4 应用举例 436

习题15.4 444

＊15.5 微分方程的幂级数解法 445

15.5.1 概述 445

15.5.2 常点的情形 448

15.5.3 正则奇点的情形 450

习题15.5 454

第16章 常微分方程组 455

16.1 标准方程组 455

16.1.1 标准方程组的概念 455

16.1.2 标准方程组的向量形式与存在惟一性定理 457

16.1.3 首次积分 459

习题16.1 465

16.2 线性微分方程组的一般理论 465

16.2.1 齐次线性微分方程组解的结构 467

16.2.2 基本解矩阵 470

16.2.3 非齐次线性方程组解的结构 472

习题16.2 475

16.3 常系数线性微分方程组 475

16.3.1 常系数齐次线性方程组的求解 476

16.3.2 常系数非齐次线性方程组的求解 482

习题16.3 487

第14,15,16章总练习题 488

习题答案与提示 491