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前言 1

第0章　看我做题（学习微积分的准备知识） 1

第一篇　一元函数微积分 22

第1章　函数的极限和连续函数 22

第1-1节 函数的极限 22

第1-2节　连续函数的主要性质 32

第1-3节　试做研究生入学考试题（三）、（四） 34

第1-4节 试做研究生入学考试题（一）、（二） 36

第1-5节　极限的基本性质 42

第1-6节　数e 45

第1-7节 数列极限的例题和习题 48

第2-1节　微分和导数 58

第2章　微分和微分法 58

第2-2节 高阶导数和高阶微分 66

第2-3节 试做研究生入学考试题（三）、（四） 69

第2-4节　试做研究生入学考试题（一）、（二） 73

第3章　微分中值定理和导数的简单应用 80

第3-1节　微分中值定理 80

第3-2节 判别函数增或减的方法·证不等式的方法 84

第3-3节 洛必达法则 87

第3-4节　泰勒公式 91

第3-5节 函数的极值和最大（小）值 95

第3-6节 函数的凸性·勾画函数图形的方法 100

第3-7节 曲线的曲率·曲率半径和曲率中心 104

第3-8节 试做研究生入学考试题（三）、（四） 106

第3-9节　试做研究生入学考试题（一）、（二） 115

第4章　牛顿-莱布尼茨积分和积分法 130

第4-1节 牛顿-莱布尼茨积分 130

第4-2节 积分法 133

第4-3节 常用积分公式表及其使用方法·点评 154

第4-4节 试做研究生入学考试题（三）、（四） 158

第4-5节 试做研究生入学考试题（一）、（二） 160

第5章　柯西-黎曼积分 164

第5-1节 柯西-黎曼积分的定义及其性质 164

第5-2节 关于连续函数积分的结论 170

第5-3节 定积分中的换元积分法 175

第5-4节 定积分中的分部积分法 181

第5-5节 反常积分·噶玛函数和贝塔函数 185

第5-6节 试做研究生入学考试题（三）、（四） 195

第5-7节 试做研究生入学考试题（一）、（二） 203

第5-8节 补编（可积准则和某些结论的补证） 217

第6章　积分在几何和物理上的应用 223

第6-1节 积分在几何上的应用 223

第6-2节 积分在物理上的应用 230

第6-3节 试做研究生入学考试题（三）、（四） 235

第6-4节 试做研究生入学考试题（一）、（二） 238

第二篇　一元函数微积分的进一步应用 245

第7章　微分方程（组）及其解法 245

第7-1节 一阶微分方程的解法 245

第7-2节 可降为一阶的二阶微分方程的解法 250

第7-3节 二阶线性齐次微分方程的基本解组 253

第7-4节 二阶线性常系数微分方程的解法 253

第7-5节 试做研究生入学考试题（三）、（四） 260

第7-6节　试做研究生入学考试题（一）、（二） 263

第7-7节 补编（简单一阶微分方程组的解法） 267

第8章　无穷级数 270

第8-1节 收敛级数的性质·条件收敛和绝对收敛 270

第8-2节 级数敛散性的判别法 271

第8-3节　幂级数 277

第8-4节　泰勒级数 284

第8-5节 傅里叶级数（理工科学生做） 288

第8-6节 试做研究生入学考试题（三）、（四） 297

第8-7节　试做研究生入学考试题（一） 302

第9章　微积分在经济科学中的应用 309

第9-1节　边际概念（导数的经济解释） 309

第9-2节 函数的弹性（函数的相对变化率） 312

第9-3节　试做研究生入学考试题（三）、（四） 314

第10章　向量的运算及其应用 317

第10-1节 向量及其运算 317

第10-2节 向量的数量积和向量积 319

第10-3节 空间中的平面方程和直线方程 321

第10-4节 向量函数的微积分 325

第10-5节 试做研究生入学考试题（一） 327

第三篇　多元函数微积分 329

第11章　多元函数的微分和微分法 329

第11-1节 多元函数和它的偏导数 329

第11-2节 函数的极限和连续函数 334

第11-3节　微分和导数 338

第11-4节 方向导数和梯度（理工科学生做） 349

第11-5节 高阶偏导数 352

第11-6节 试做研究生入学考试题（三）、（四） 359

第11-7节　试做研究生入学考试题（一）、（二） 364

第11-8节 补编（隐函数存在性和可微性定理） 370

第12章　多元函数的极值 374

第12-1节 无条件极值 374

第12-2节 条件极值·拉格朗日乘数法 376

第12-3节 试做研究生入学考试题（三）、（四） 380

第12-4节 试做研究生入学考试题（一） 382

第13章　重积分 384

第13-1节 二重积分的基本计算方法 384

第13-2节 二重积分的变量替换 389

第13-3节 三重积分的计算方法·矩和质心（理工科学生做） 394

第13-4节 试做研究生入学考试题（三）、（四） 401

第13-5节 试做研究生入学考试题（一）、（二） 407

第14章　曲线积分（理工科学生做） 412

第14-1节 曲线积分的定义和计算方法 412

第14-2节 试做研究生入学考试题（一） 423

第15章　曲面积分（理工科学生做） 426

第15-1节 标量函数的曲面积分（第一型曲面积分） 426

第15-2节 向量函数的曲面积分（第二型曲面积分） 430

第15-3节 试做研究生入学考试题（一） 440

第16章　场论初步（理工科学生做） 447

第16-1节 通量和散度 447

第16-2节 曲线积分与路径无关的条件 449

第16-3节　循环量和旋度 454

第16-4节 试做研究生入学考试题（一） 456